庫侖定理(庫侖定律的所有公式)
在學習物理知識的時候，要把一些物理概念和規律與物理學史結合起來，講解理論的來龍去脈，讓學習者得到一個動態的、主動的學習過程，消除物理知識的神秘性，從而增強思維的靈活性。通過研究物理學史，了解物理學家的成敗，也可以增強我們對物理學的興趣，增強我們對“細節推動物理學”的信心。
本文以庫侖定律為例，結合物理學史，使“庫侖”還原為真正的科學家，使“庫侖”不再只是電的單位，“庫侖定律”也不只是一個干巴巴的物理公式。今年恰逢C·庫侖(1736-1806)誕生280周年，逝世210周年。本文簡要回顧了庫侖定律的發現過程，希望對讀者有所啟發。
科學家對電的早期研究
人類對電現象的認識經歷了漫長而曲折的道路。商代時期，甲骨文中出現了“雷”和“電”的形聲字。然而，直到16世紀，人們才對電的現象有了更深刻的認識。作為英國女王伊麗莎白一世的內科醫生，吉爾伯特(W. Gilbert，1544-1603)首先提出了“電吸引”的概念，并系統地研究了靜電現象。600年，吉爾伯特發現一些物質相互摩擦后可以吸引光線和小物體。他把這種力稱為“琥珀力”。后來，根據希臘單詞“琥珀”的詞根擬定了科學術語“電”。
18世紀，牛頓創立經典力學理論后，運動三定律和萬有引力定律奠定了物理科學發展的基礎，統一了天上和地上的運動，完成了對自然規律的之一次理論概括和總結。18世紀中期，人們堅信萬有引力定律的正確性，并將其外推到電和磁的研究中。18世紀后期，隨著實驗條件的不斷改善，科學家們開始了電荷相互作用的實驗研究。
1733年，法國科學家杜菲(1698-1739)根據大量的實驗事實，大膽地得出自然界存在不同種類的電荷的結論。一個叫“琥珀電”；一種叫“玻璃電”。1747年，美國科學家富蘭克林(B.Franklin，1706-1790)把絲綢摩擦的玻璃帶的電稱為“正電”，把毛皮摩擦的琥珀帶的電稱為“負電”，于是提出了正電和負電的概念。
1759年，德國科學家艾皮努斯(1724-1802)提出了一個假說，即電荷之間的排斥力和吸引力隨著帶電體之間距離的減小而增大。然而，伊皮努斯并沒有用實驗來檢驗這個假設。1760年，D .伯努利(1700-1782)想知道電是否會像重力一樣服從平方反比定律。他的想法在當時具有代表性。
1755年，富蘭克林觀察到電荷只分布在導體表面，而導體內部沒有靜電效應。他向英國科學家j·普里斯特利(1733-1804)講述了這一現象，建議普里斯特利重復實驗并加以證實。普里斯特利曾經從牛頓的萬有引力理論出發，將電荷的作用力與萬有引力進行比較，推測電荷的作用力也符合平方反比定律的，但是他沒有用實驗來證實這個結果，所以停留在推測的階段，最后被束之高閣。順帶一提，在科研過程中，科學家之間的交流與合作，可以集眾人之智慧，形成優勢互補，往往能激起寶貴的創作火花，進而發展成為重大的科研成果，推動科學進步。科學史上有很多這樣的歷史經驗可以借鑒。
在科學史上，有兩位英國科學家對電做了定量的實驗研究，并得出了明確的結論。遺憾的是，他們沒能及時發表自己的研究成果，也沒有對科學的發展起到應有的推動作用。一個是J·羅賓遜(1739-1805)，一個是卡文迪什(1731-1810)。羅賓遜設計了一個杠桿裝置，得出電力服從平方反比定律的結論，指標偏差δ =0.06。他認為實驗誤差導致指數過大。1801年，羅賓遜宣布了這項研究的結果。
從1772年到1773年，卡文迪什做了一個雙層同心球實驗(圖1)，精確測量了功率和距離的關系。根據卡文迪什的分析，由于帶電金屬球殼內部任何一點都沒有電力，如果將球殼切成兩半，在空腔中放入一個電荷，電荷將不受力的影響，這說明P點電荷上兩個球殼上電荷的靜電力相互抵消。卡文迪什證明，只有當靜電力與距離的平方成反比時，這兩種力才會相互抵消。由此，他得到了服從平方反比定律的電功率，并將電功率表示為以下形式。卡文迪許的同心球實驗比庫侖的扭秤實驗早了11年。卡文迪什用的是當年最原始的電測儀器，由于設計巧妙，得到了非常可靠的結果。
圖1卡文迪許及其雙層同心球照片
雖然卡文迪什是“所有有學問的人中最富有的，也是所有最富有的人中最有學問的”，但由于性格孤僻，他很少與人交往。直到卡文迪什去世，這項研究的結果沒有公開發表。1879年，麥克斯韋整理了卡文迪許的研究成果，他的工作為世人所知。如果這一成果能及時發表，也許庫侖定律的名字會被改一下。因此，為了推動科學進步，僅僅提出豐富的思想、開發新的實驗、解釋新的問題或創造新的方法是不夠的。還需要有效和及時地與他人交流創新成果，并為共同的知識建設做出貢獻。只有那些能夠被其他科學家及時有效地認識和利用的研究成果才是有意義的。所以在做科研的時候，要謹慎假設，大膽求證，善于分享，及時發表科研成果，讓科學造福人類。
庫侖定律的建立
法國工程師、物理學家庫侖對電學的研究做出了巨大貢獻，被譽為“電磁學中的牛頓”。他出生在法國南部昂古萊姆的一個富裕家庭。1806年8月23日，庫侖在巴黎去世，享年70歲。庫侖是一個正直高尚的人。T.Young (1773-1829)稱贊庫侖的道德品質和他的數學研究一樣優秀。為紀念庫侖而發行的郵票中也有豐富的關于物理學史的材料(圖2)。人們可以看到庫侖的肖像，他的生卒年代，以及他使用的原始扭秤。
圖2郵票上的庫侖
1773年，法國科學院通過懸賞公開征集導航羅盤磁針的改進方案。4年后，庫侖的論文《制造磁針的更佳方法研究》獲得一等獎。認為庫侖的磁針支撐在軸上必然會帶來摩擦力，所以建議用細毛或絲線懸掛磁針。庫侖在實驗中發現，絲線扭轉時的扭力與磁針轉動的角度成正比，這樣靜電力和磁力就可以用這個裝置來測量，這促使他發明了扭秤。庫侖扭秤的發明曾經受到紡車的啟發。他注意到鄉下紗線的斷頭，而且總是反方向卷曲。紗線捻得越緊，要繞的圈數就越多。他認為可以根據紗線卷曲的程度來測量力，然后用它來測量電荷之間的力。
1785年，庫侖通過扭秤實驗測得兩個電荷之間的作用力與它們之間的距離的關系。他總結道:“兩個帶同種電荷的小球之間的排斥力與兩個球中心距離的平方成反比。”1785年，庫侖在他的論文《電力定律》中詳細介紹了實驗裝置、測試過程和實驗結果。
庫侖扭秤(圖3)由一根懸掛在細長金屬絲上的光棒和兩個連接在光棒兩端的平衡球組成。當球沒有受力時，光條處于一定的平衡狀態。如果兩個球中的一個帶電，另一個帶相同電荷的球放在它附近，電就會作用在球上，使可移動的球立即被排斥，使桿繞懸掛點旋轉，直到懸掛線的扭力和電力達到平衡。由于吊線很細，作用在球上的很小的力就能使桿明顯偏離原來的位置，旋轉角度與力成正比。兩個帶電體之間的不同距離易于調整和測量。
圖3輪庫扭秤的組件
在庫侖的時代，既沒有電荷單位，也沒有物體所帶電荷的度量。根據實驗需要，庫侖利用對稱性原理改變金屬球的電量。他讓金屬球B先帶電，假設其電量為Q；使其與不帶電的金屬球A接觸(A球和B球都是相同的)，即A球和B球的電量都是1/2Q；如果一個不帶電的同一個球與球B接觸，然后分開，球B的電荷每重復接觸一次就會減半，Q，1/2Q，1/4Q，1/8Q，...庫侖使活動球和固定球帶等量的相同電荷，調節兩個球之間的距離:
之一個實驗:千分尺指針指向O，用大頭針給兩個球充電后，兩個球之間的距離是36度。此時，吊線的扭轉角度為36度。
第二個實驗:根據千分尺指針O，將吊線扭轉126度后，兩個球相互靠近，兩個球之間的距離只有18度。此時吊線的扭轉角度是126度加18度，也就是144度。
第三個實驗:將吊線扭轉567度，兩個球之間的距離為8.5度。此時吊線扭轉角度為567度加8.5度，為575.5度。
分析以上實驗數據可以得出，排斥力與距離的平方成反比。然而，扭秤實驗在非均質電荷實驗中遇到了麻煩。因為金屬絲扭轉的恢復力矩只與角度的一次方成正比，而重力與距離的二次方成反比，也就是說，重力的變化比扭轉力快，不能保證扭秤的穩定性。如果兩個帶電的球相距很遠，誤差會很大。如果它們靠得很近，這兩個球就會經常撞到一起。這是因為扭秤很靈活，會左右搖擺。兩個球體相互吸引的結果是，當它們相互接觸時，經常會發生電荷中和現象，導致實驗無法進行。
經過反復思考，庫侖借鑒動力學實驗解決。地面上物體的重力與物體到地心距離的平方成反比，即:
當懸掛在地面上的物體以很小的振幅繞懸掛點擺動時，振幅周期與物體到地心的距離成正比。根據T ∝ r，庫侖假設:如果異種電荷之間的引力也與它們之間距離的平方成反比，那么就可以設計一個電擺(圖4)用于實驗。
設庫侖球帶正電，圓金紙板帶負電。經過實驗，得到了以下結果:
之一個實驗:圓形金紙盤距離球中心9英寸，20秒內擺動15次。
第二個實驗:圓形金紙盤距離球心18英寸，41秒內擺動15次。
圖4庫侖電擺
第三個實驗:圓形金紙盤距離球心24英寸，60秒內擺動15次。
距離比為3 ∶ 6 ∶ 8，振動周期比為20 ∶ 41 ∶ 60。如果符合距離的平方反比定律，則振動周期的比值應為20 ∶ 40 ∶ 54。第三次實驗的結果與理論值相差近10%。庫侖正確地解釋了這種現象是由漏電引起的。這種泄漏取決于帶電體的絕緣效率、尺寸、電荷密度和空濕度。因為每分鐘的功率損耗大約是四十分之一，而整個實驗大約需要四分鐘才能完成。在實驗的四分鐘里，考慮到電的損耗，重力變小，以至于測得的擺動時間比理論值長。
這樣經過修正后，兩者的數值非常接近。庫侖認為，“不同電流體之間的作用力，就像相同電流體之間的相互作用一樣，與距離的平方成反比。”庫侖用類似單擺的方法測得異種電荷間的引力也與它們距離的平方成反比，這不是通過扭轉力和靜電力的平衡得到的。
在糾正了實驗中的錯誤后，庫侖利用實驗揭示了電相互作用和磁相互作用的過程。需要指出的是，庫侖只是測量了距離平方的反比關系，正式把靜電力和靜力歸納到萬有引力的范疇。需要強調的是，庫侖并沒有具體驗證靜電力與電量的乘積和靜磁力與磁荷的乘積成正比。后來，德國物理學家c·高斯(C. Gauss，1777-1855)提出了直接從庫侖定律定義電荷測量的思想。1839年，高斯發表了《與距離的平方成反比的引力或斥力的普遍定理》一文，提出了靜電高斯定理。
平方反比定律的驗證
庫侖定律是電學史上之一個定量定律，是電磁學和電磁場理論的基本定律之一，也是物理學的基本定律之一。所以從庫侖定律發現開始，科學家們就沒有停止過對公式中R的指數2的驗證。這是一個有待實驗檢驗的問題。
1971年，美國科學家威廉等人利用高頻高壓信號、鎖定放大器和光纖傳輸來保證實驗條件。借助現代測試手段，平方反比定律的指數偏差擴大了幾個數量級，指數2的偏差不超過10-16。所以完全可以假設指數為2。其實2的指數和光子靜止質量mz是密切相關的，是可以相互推動的。這是因為現有的理論都是建立在mz等于零的前提下。如果mz不為零，即使這個值很小，也會動搖物理學大廈的基石。比如出現真空色散；光速可以改變；電荷不守恒等。
到目前為止，理論和實驗表明點電荷力的平方反比定律是非常精確的。比如著名的α粒子散射實驗和地球物理實驗表明，在10-11m到107m的尺度范圍內，庫侖定律是可靠的。
后來庫侖的科學家在這方面的研究工作主要是提高了指數n的精度，雖然這些工作也很重要，但從重要性上來說，很難和庫侖的工作相比。所以我們把電的平方反比定律叫做庫侖定律，電的單位以庫侖命名。
兩點啟示
一是類比法的應用。類比是科學研究中一種重要的思維方法，被譽為科學活動中的“偉大向導”。物理學史上許多重要的發現和發明往往都源于類比。當向新的科學問題進軍時，類比推理可以通過聯系新舊科學問題之間的相似性來幫助取得重大突破。通過梳理庫侖定律的建立過程，可以看出類比法在物理學研究中的重要性。將引力平方反比定律類比到電的新領域，使得庫侖定律從一開始就走上了正確的道路(沒有走彎路)。總之，如果萬有引力定律沒有被首先發現，如果沒有使用類比的方法，僅僅使用了具體實驗數據的積累和分析，要得到嚴格意義上的庫侖定律的表達式，還需要很長的路要走。
不用說，類比也是一把雙刃劍。類比推理雖然有創意，但是不靠譜。偉大的德國哲學家黑格爾曾精辟地評論說，類比可能是膚淺的，也可能是深刻的。自然過程非常不同，一直在發展和變化。況且人的認知能力也是受時代條件限制的。因此，毫無疑問，有些類比通常是暫時性的，它們無非是在物理學的發展中充當“藥物引爆器”或“催化劑”。因為確切的說，完全新的東西是無法用熟悉的術語來解釋的。因此，物理學家在通過類比引入物理概念或建立新的物理定律時，不應局限于原始類比的“一畝三分地”，也不應把所有通過類比得到的推論都視為絕對正確。類比只是物理學家建造宏偉的物理學大廈的腳手架。物理學的大樓一旦建成，腳手架就需要拆除。
第二，理論和實驗，就像汽車的兩個輪子，相輔相成。物理學是一門自然科學，其研究始終著眼于探索物質世界及其運動規律。物理學是一門以實驗為基礎的科學，它的概念、定律、公式都是以實驗為基礎的。庫侖定律不僅是一個實驗定律，也是電和磁的萬有引力定律的推論。如果說庫侖定律是一個實驗定律，那么庫侖扭秤實驗就起著重要的作用。即便如此，庫侖還是借鑒了牛頓的萬有引力理論，模仿萬有引力的大小與兩個物體質量的關系，“想當然”地認為兩個電荷之間的作用力也與兩個電荷的電量成正比。沒有這個前提，就沒有辦法進行實驗，因為當時電量的測量還沒有建立起來。
根據實驗數據，庫侖和其他科學家不能確定平方反比關系，但比2多一點。回顧庫侖定律的發現過程，我們可以看到，如果不是科學家把實驗結果中的平方修正當成實驗誤差，然后刪除，庫侖定律不會這么快成立。諾獎得主李政道提出“物理學家定律”，準確概括了理論與實驗的關系:“沒有實驗者，理論家就會迷失方向；沒有理論家，實驗者就會猶豫。”老實說，只有通過實驗和理論的合作和相互鼓勵，物理學才能建造出宏偉的建筑。
