運(yùn)籌學(xué)單純形法（單純形法各個(gè)步驟詳解）
R帷幄』原創(chuàng)
作者：臧永森
作者：臧永森，清華大學(xué)工業(yè)工程系在讀博士，研究方向：運(yùn)籌優(yōu)化算法的設(shè)計(jì)與應(yīng)用、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析、大數(shù)據(jù)技術(shù)與應(yīng)用，戚銘堯老師團(tuán)隊(duì)
編者按
此文屬于電子書線性規(guī)劃專題第三章單純形法的內(nèi)容。在前面的文章中，我們?yōu)橐雴渭冃畏ń榻B了可行域、最優(yōu)解、可行解、基解、基可行解等基礎(chǔ)概念，也闡述了它們之間的關(guān)系（具體可見文章《在單純形法之前》）。在明確了這些基本概念之后，這一節(jié)我們來(lái)探討單純形法的思想邏輯和求解步驟。
我們已經(jīng)知道，優(yōu)化問題的最優(yōu)解一定是基可行解，那么如何找到最優(yōu)的基可行解就是最優(yōu)化問題的求解思路。因此，單純形法在求解過程，就是不斷地尋求變量出入基的循環(huán)迭代過程，每次迭代都達(dá)到降低目標(biāo)函數(shù)值（或增大目標(biāo)函數(shù)值）的目的，最終得到最優(yōu)解。那么在迭代過程中，如何使解在改善過程中向著最優(yōu)解的方向盡快地收斂呢？我們下面用比較直觀的方式來(lái)解析這個(gè)過程。
單純形法的基本思想與邏輯
本文采用的思路參考Dimitris Bertsimas和 John N. Tsitsiklis在 Introduction to Linear Optimization一書中提出的方法[1]。考慮如下標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃問題：
我們將矩陣A拆分為n個(gè)列元素：A1, A2, A3,, An，那么我們可以將問題看成是滿足非負(fù)約束（4）、凸約束（3）以及約束（5）的最小化問題。
結(jié)合式（3）和（5）我們可以看出，原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解能夠構(gòu)造出（b, z）的使得z值最小的關(guān)于（Ai, ci）的凸組合。為了更好地理解它們之間的幾何關(guān)系，我們將一個(gè)平面視作包含A的一個(gè)m維空間，將與ci相關(guān)的成本項(xiàng)看作是一維垂直數(shù)軸，這時(shí)每一個(gè)點(diǎn)（Ai, ci）都可以唯一在該三維坐標(biāo)系中表示出來(lái)，如圖1所示：
圖1 線性規(guī)劃問題1—4的“列幾何”圖示
我們將（b, z）同樣視為一條垂直線表示在圖1中，這條垂直線叫做需求線，其與平面的交點(diǎn)是（b, 0）點(diǎn)。需求線與（Ai, ci）的凸組合在幾何上有一定的關(guān)系，它們或相交或相離，這取決于我們對(duì)（Ai, ci）凸組合的選取，選取的凸組合不一樣，幾何關(guān)系就不同。很容易能理解，如果需求線和凸組合相交，說(shuō)明（b, z）可以用相應(yīng)的凸組合表示出來(lái)，也就表明這個(gè)凸組合就是原問題的一個(gè)可行解；而如果相離，則說(shuō)明這個(gè)凸組合不滿足能夠表達(dá)（b, z）的條件，也就不是原問題的可行解。所有的凸組合構(gòu)成了一個(gè)凸包，如果需求線能夠與凸包相交，那么原問題就存在可行解，如果需求線不能與凸包相交，說(shuō)明原問題無(wú)解。進(jìn)一步將圖1抽象，得到圖2，從圖中我們可以看出，點(diǎn)I、H、G就是三個(gè)不同的凸組合與需求線的交點(diǎn)，也就是原問題的三個(gè)可行解。
圖2 可行解的“列幾何”圖示
經(jīng)過上面的分析我們得知，要找到最優(yōu)解，就是找到與需求線相交的使得z值最小的凸組合。那么如何找這樣的凸組合呢？首先引入兩個(gè)定義：
如果向量
是線性獨(dú)立的，那么向量
被稱為Rn空間中的仿射獨(dú)立或者仿射無(wú)關(guān)，其中k<=n。
在Rn空間中由k+1個(gè)仿射無(wú)關(guān)向量組成的凸包被稱為k維單純形。
對(duì)模型（1—4）來(lái)說(shuō)，總共有m+1個(gè)等式約束，假定約束系數(shù)矩陣是滿秩的，那么一個(gè)基可行解將對(duì)應(yīng)m+1個(gè)線性獨(dú)立的列向量，也就意味著有m+1個(gè)基點(diǎn)，根據(jù)上述定義，由基點(diǎn)之間的差向量線性獨(dú)立可以得到其仿射獨(dú)立，由此可以知道它們組成的凸包是m維單純形。
假設(shè)m維單純形與需求線相交于點(diǎn)（b, z），由（5）知用來(lái)表示（b, z）的線性組合的權(quán)重向量是xi ，該向量就是一個(gè)基可行解，也就對(duì)應(yīng)我們上節(jié)所分析的基變量的內(nèi)容，當(dāng)然z就是相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。我們用圖2做一個(gè)解釋，陰影區(qū)域的三角形CDF，就是一個(gè)2維單純形，其與需求線的交點(diǎn)H點(diǎn)就是基可行解，點(diǎn)C、D、F是基點(diǎn)。
我們對(duì)二維單純形CDF做一些改變，會(huì)發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的z值（與需求線的交點(diǎn)）也會(huì)變化，比如我們令基點(diǎn)B取代基點(diǎn)F，單純形變?yōu)锽CD，這時(shí)可行解變?yōu)镮點(diǎn)，相應(yīng)的z值較之前有所增長(zhǎng)。類似地，若點(diǎn)E取代點(diǎn)C成為基點(diǎn)，單純形由CDF變?yōu)镋DF，可行解就出現(xiàn)在G點(diǎn)，此時(shí)z值有所減小。從這些變化中我們找出這樣一個(gè)規(guī)律，當(dāng)且僅當(dāng)新加入基的點(diǎn)在當(dāng)前單純形平面上方（下方）時(shí)，所得的交點(diǎn)（即可行解）對(duì)應(yīng)的z值會(huì)增大（減小）。
如果我們更加形象地描述這個(gè)基點(diǎn)變化的過程，就如同用手抓住單純形CDF的基點(diǎn)C，保持D點(diǎn)和F點(diǎn)固定不變，用力向上拉（向下拉），將C點(diǎn)拉到B點(diǎn)（E點(diǎn)），也就產(chǎn)生了新的單純形BCD（EDF）。單純形法的旋轉(zhuǎn)迭代過程，就是不斷找到基點(diǎn)向上拉（向下拉）到新基點(diǎn)形成新單純形的過程。
單純形法的求解過程
簡(jiǎn)單總結(jié)一下單純形法的求解原理。先找到一個(gè)基可行解，然后從非基解中找一個(gè)比較有前途的點(diǎn)入基，替換掉基可行解中有待改善的基點(diǎn)，從而達(dá)到改善目標(biāo)函數(shù)的目的，如此重復(fù)迭代，直至無(wú)法找到可以入基的點(diǎn)。
